Картофельная запеканка с фаршем и грибами

Картофельная запеканка с фаршем и грибами
Для пюре:
800 гр. картофеля
100 мл. молока
1 яйцо
120 гр. твёрдого сыра
50 гр. сливочного масла
кусочек лука
соль по в кусу
Для начинки:
700 гр. фарша
300 гр. шампиньонов
1 лукавица
1 морковь
30 гр. сливочного масла
соль и перец по вкусу
И 1 яйцо для смазывания запеканки